题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入:
[[1,3,1], [1,5,1], [4,2,1]] 输出: 7 解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。思路
以输入为 3*3 的网格为例，其中 m=3，n=3
[1,3,1] [1,5,1] [4,2,1] 由于每次只能向下或者向右移动，则坐标（0，0）的最小路径就等于当前节点加上（0，1）或（1，0）的最小值，这样可以得到递归方程： dp(0,0) = grid(0,0) + min(dp(1,0),dp(0,1)) 当到达网格的边界时，下一步只能往右走或者往下走。这样可以得到这个问题的一般递归解法。一般递归解法
class Solution {public: int minPathSum(vector >& grid) { return minPathSumRecusion(grid, 0, 0); }private: int minPathSumRecusion(vector >& grid, int m, int n){ if(grid.size() == 0) return 0; if(m == grid.size()-1 && n == grid[0].size()-1) return grid[m][n]; if(m == grid.size()-1) return grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m,n+1); if(n == grid[0].size()-1) return grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m+1,n); return grid[m][n]+ min(minPathSumRecusion(grid,m+1,n), minPathSumRecusion(grid,m,n+1)); }}; 在leetcode上提交之后，不出意外的又超时了。下面先进行记忆化搜索进行优化，再进行动态规划算法的改写。
记忆化搜索递归
在得到一般递归解法后进行记忆化搜索的步骤一般比较固定，先建立每一步的索引表，然后初始化边界情况，然后在递归函数中判断索引表中的数据是否存在，如果存在则直接取出作为本次递归的值，不存在则继续进行下一步递归，递归返回时填写索引表中的相应值。
这个问题比较特殊的地方在于边界情况有稍许复杂：- grid为0的情况
- 下一步只能往右的情况
- 下一步只能往下的情况
class Solution {public: int minPathSum(vector >& grid) { if(grid.size() == 0) return 0; int m = grid.size(); int n = grid[0].size(); m_memo = vector >(m+1,vector (n+1,0)); //初始化边界情况 for(int i = n-1; i >= 0;--i) m_memo[m-1][i] = grid[m-1][i] + m_memo[m-1][i+1]; for(int j = m-1; j >= 0;--j) m_memo[j][n-1] = grid[j][n-1] + m_memo[j+1][n-1]; return minPathSumRecusion(grid, 0, 0); }private: int minPathSumRecusion(vector >& grid, int m, int n){ if(grid.size() == 0) return 0; if(m_memo[m][n] != 0) { return m_memo[m][n]; } if(m == grid.size()-1 && n == grid[0].size()-1) { m_memo[m][n] = grid[m][n]; return m_memo[m][n]; } if(m == grid.size()-1) { return m_memo[m][n]; } if(n == grid[0].size()-1) { return m_memo[m][n]; } m_memo[m][n] = min(grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m+1,n), grid[m][n]+minPathSumRecusion(grid,m,n+1)); return m_memo[m][n]; } vector > m_memo;}; 动态规划
按照上面的递归公式和记忆化搜索算法，如果把递归算法从(0，0)逐步递归得到(m,n)看作是自顶向下，那么从（m,n)开始通过循环逐步得到(0,0)就可以看作是自底向上，我们可以进一步得出此题的动态规划解法。
class Solution {public: int minPathSum(vector >& grid) { if(grid.size() == 0) return 0; int m = grid.size(); int n = grid[0].size(); m_memo = vector >(m+1,vector (n+1,0)); //初始化边界情况 for(int i = n-1; i >= 0;--i) m_memo[m-1][i] = grid[m-1][i] + m_memo[m-1][i+1]; for(int j = m-1; j >= 0;--j) m_memo[j][n-1] = grid[j][n-1] + m_memo[j+1][n-1]; for(int i = m-2; i >= 0;--i) { for(int j = n-2; j >= 0;--j) { m_memo[i][j] = grid[i][j] + min(m_memo[i][j+1], m_memo[i+1][j]); } } return m_memo[0][0]; }};